线性代数 09

矩阵的特征根与特征向量。这两个是线性代数里面非常重要的概念。

我们对这两个概念的定义是这样的,如果存在一个矩阵\(A\)可以使得常数\(\lambda\)和向量\(v\)满足: \[ Av = \lambda v \] 那么\(\lambda\)就是矩阵的特征根,而\(v\)就是特征向量。但是这里需要注意的是,\(A\)一定是方阵。举个例子: \[ \begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4 \\ -4 \\ 4\end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} \]

不过要注意的是,零向量不能作为特征向量。

所以直观的感受上,特征向量就是经过线性变换以后,只是改变向量长度或者是变成相反的方向。

那么在特征根特征向量在图像中有什么意义呢?下面举四个例子。

首先是扭曲,如下图:

那么这样的变换过程中,落在横轴上的向量是没有发生任何变换的,因此图片中蓝色的向量就是特征向量,特征根是1。

第二个变换是映射,如下:

在这个变换中,\(b_1\)是没有变化的,所以是一个特征根为1的特征向量。而\(b_2\)则是刚好反了一个方向,因此是一个特征根为-1的特征向量。

第三种变换是缩放,如下:

在这种情况下,图片的所有向量都是特征向量,特征根就是缩放倍数。

第四种是旋转,如下:

因为上面的旋转过程中,没有一个向量保持了原来的方向,或者转到完全相反的方向,因此这样的变换过程中,没有特征向量。

从上面的四个例子我们还可以发现一个很重要的事情,就是一个特征向量只有唯一对应一个特征根,但是一个特征根可以有多个特征向量。然后,我们就可以顺势定义一个新的概念,eigenspace。也就是\(\lambda\)对应的所有特征向量加上零向量构成的subspace。

那么我们要怎么去找到特征向量和特征根呢?

首先我们回顾一下之前的公式: \[ Av = \lambda v = \lambda I v \] 所以\((A-\lambda I) v = 0\)。这样一来,我们就知道,当我们知道\(\lambda\)的时候,只要找到上面那个等式的非零解,就是我们的特征根。

那么如果现在要判断一个常数是不是特征根,我们依照上面那个等式一步步向下推理,因为\((A-\lambda I)v = 0\)有多个解,因此我们可以知道\(\text{Rank} (A - \lambda I) < n\),所以\(A - \lambda I\)不可逆,也就是说它的行列式为0。

比如说矩阵\(A = \begin{bmatrix}-4 & 3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\),我们计算行列式\(\begin{bmatrix}-4-\lambda & 3 \\ 3 & 6-\lambda \end{bmatrix} = 0\)。也就是说\((-4-\lambda)(6-\lambda) - 9 = 0\)。所以我们就可以求出来,\(\lambda = -3\)\(\lambda = 5\)

那么特征根有一些特性。首先,一般来说,一个矩阵跟它的RREF的特征根是不一样的。如果是两个矩阵的因式分解一样,那么就有一样的特征根。

假设现在有个矩阵\(A\)\(n\)个特征根(这里只考虑实数根),那么特征根的和刚好就是\(\text{trace } A\),也就是\(A\)的对角线元素的和;特征根的乘积刚好就是\(\det A\)

实际上,理解一下特征根和特征向量在图像中的意义,然后知道特征根的解法是\(\det(A - \lambda I)\),特征向量的解法是\((A - \lambda I)v = 0\)就好了。

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