线性代数 08

Coordinate system,就是坐标系。其实就是一组vector。

能够拿来做坐标系的vector set,很显然,按照上一篇博客里的内容,我们可以很自然想到,一个vector set必须符合两个条件:

  1. 这个vector set是\(\mathbb{R}^n\)的span
  2. 这个vector set里面的vector是independent的

那其实这个vector set就是basis。

如果现在我们的basis刚刚好每个vector都是相互垂直的单位向量,那么我们就会把这个坐标系叫做直角坐标系。

那么从这个角度来看,其实,我们就可以将矩阵乘法看作是坐标系转换。而且坐标系转换,矩阵一定是可逆的。

所以如果我们要做任意的坐标系和直角坐标系之间的转换,我们遵守如下的公式:

\(v_{B}\)\(v\)就是\(v = B v_{B}\),反过来就是\(v_{B} = B^{-1} v\)

事实上,坐标系转换,或者说线性变换是机器学习里面非常常见的一种情况。比如说PCA就是这样的一种变换。PCA有一点像是在找basis。另外如果了解NMF的话,NMF看上去更像是将一组数据的basis找出来。不过要注意的是,仅仅是看上去很像而已。

线性变换具有很显著的意义,将一个在原来坐标系下面很复杂的函数,通过线性变换以后就可能得到一个非常简单的函数。

如下图:

我们要做一个关于直线\(y = \frac{1}{2} x\)的映射关系。如果这个映射在直角坐标系下面,那么我们的变换矩阵是\(\begin{bmatrix} 0.6 &0.8 \\ 0.8 &-0.6 \end{bmatrix}\)。但是如果我们用这条直线作为横轴,垂直于这条直线的向量为纵轴,就会发现,其实在这个坐标系\(\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1 &2 \end{bmatrix}\)内,变换只是\(\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}\)

乞讨码