线性代数 12

稍微介绍一下两种特殊的矩阵,orthogonal matrix和symmetric matrix。

orthogonal matrix其实就是矩阵里面每个向量相互独立的矩阵,如果是orthonormal的话,这些矩阵里的向量都是单位向量。比如说\(\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

这样的矩阵有一些特性,首先,orthogonal matrix \(Q\)的transpose和inverse相等。也就是\(Q^{\top} = Q^{-1},且这两个矩阵都是orthogonal的\),另外,\(\det(Q) = \pm 1\)。最后,orthogonal matrix和orthogonal matrix叉乘之后还是orthogonal matrix。

orthogonal matrix还有一个很特殊的特性,就是向量和orthogonal matrix相乘以后,向量的norm不变。

另一种特殊矩阵是symmetric matrix,也就是类似\(\begin{bmatrix}a & b \\ b & c \end{bmatrix}\)。首先,symmetric matrix一定有实特征根。其次,symmetric matrix一定有orthogonal eigenvectors。最后,symmetric matrix一定是diagonalizable的。这里存在一个等价关系\(A \text{ is symmetric等价于} P^{\top}AP = D 或 A = PDP^{\top}\)。而这的\(P\)包含\(A\)的特征向量,\(D\)\(A\)的特征根组成的对角矩阵。

乞讨码