1. $u \cdot u = \| u \|^2$
2. $u \cdot u = 0$ if and only if $u = 0$
3. $u \cdot v = v \cdot u$
4. $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$
5. $(v + w) \cdot u = v \cdot u + w \cdot u$
6. $cu \cdot v = u \cdot cv$
7. $\| cu \| = |c| \| u \|$
8. $Au \cdot v = (Au)^{\top} v = u^{\top}A^{\top}v = u \cdot A^{\top}v$
9. $\| u+v \| \le \|u\| + \|v\|$