线性代数 05

逆矩阵

假设,现在有一个向量\(v\),经过矩阵\(A\)的变换,再经过矩阵\(B\)的变换,向量不变。此外,先经过\(B\)再经过\(A\),仍然得到\(v\)。在这种情况下,我们就可以说\(A\)\(B\)互逆。

那么严格一点,如果\(n \times n\)的矩阵\(A\)是可逆的,那么会存在一个\(n \times n\)的矩阵\(B\)使得\(AB = BA = I\)。在这种情况下,我们称\(B\)\(A\)的一个逆矩阵,可以记为\(A^{-1}\)

所以有一个很明显的点,当一个矩阵不是方阵的时候,必定是没有逆矩阵的。不过实际上在矩阵分析里面,这样的矩阵也可以求逆,叫做伪逆。

此外,一个矩阵如果有逆矩阵,那么一定只有唯一的一个逆矩阵。这个其实很好证明: \[ AB = BA = I,AC = CA = I \\ B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C \]

那逆矩阵有什么用呢,用逆矩阵可以解之前的线性方程组,直接得到经过高斯消元法之后的结果。那实际上,逆矩阵求解对机器来说是没效率的,因为机器求逆矩阵就用了RREF。

现在考虑一下,如果我们对矩阵的乘做逆运算会怎么样。也就是\((AB)^{-1}\)。那么我们可以得到的是\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\),这里要求两个矩阵都是可逆的。由此我们可以推广,\((A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}\)

那如果\(A\)是可逆的,\(A^{\top}\)是不是也是可逆呢?答案很明显是可逆的,可以求一下,\(AA^{-1} = (AA^{-1})^{\top} = (A^{-1})^{\top} A^{\top} = I\),然后反过来\(A^{-1}A = (A^{-1}A)^{\top} = A^{\top} (A^{-1})^{\top} = I\)。所以我们就知道,\((A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top}\)

那么如何判断一个矩阵是不是可逆的?在Elementary Linear Algebra里面,提供了十几种判断依据:

  1. \(A\) is invertible.
  2. The reduced row echelon form of \(A\) is \(I_n\).
  3. The rank of \(A\) equals \(n\).
  4. The span of the columns of \(A\) is \(R_n\).
  5. The equation \(Ax = b\) is consistent for every \(b\) in \(R_n\).
  6. The nullity of \(A\) equals zero.
  7. The columns of \(A\) are linearly independent.
  8. The only solution of \(Ax = 0\) is \(\mathbf{0}\).
  9. There exists an \(n \times n\) matrix \(B\) such that \(BA = I_n\).
  10. There exists an \(n \times n\) matrix \(C\) such that \(AC = I_n\).
  11. \(A\) is a product of elementary matrices.

也就是说,当一个矩阵\(A\)是方阵时,如果\(A\)可逆,上述的条件都是等价的。

判断完是否可逆之后,如何计算逆矩阵呢?

这里引入一个概念,叫做elementary matrix,比如说\(E = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &1 &0 \end{bmatrix}\)。那这个变换矩阵的作用就是交换第二行和第三行。我们回顾一下,之前说的RREF其实做的事情就是多次的elementary matrix乘原来的矩阵。那么如果我们的RREF是单位矩阵,那么其实\(A\)的逆矩阵就是这么多elementary matrix的乘积,不过这里要注意的是elementary matrix \(E\)的顺序。

矩阵的逆大概就是这么多内容,简单一点判断,如果矩阵是方阵,且满秩,就可逆。计算方法就用高斯消元法的那一套来。

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