逆矩阵
假设，现在有一个向量\(v\)，经过矩阵\(A\)的变换，再经过矩阵\(B\)的变换，向量不变。此外，先经过\(B\)再经过\(A\)，仍然得到\(v\)。在这种情况下，我们就可以说\(A\)和\(B\)互逆。
那么严格一点，如果\(n \times n\)的矩阵\(A\)是可逆的，那么会存在一个\(n \times n\)的矩阵\(B\)使得\(AB = BA = I\)。在这种情况下，我们称\(B\)是\(A\)的一个逆矩阵，可以记为\(A^{-1}\)。
所以有一个很明显的点，当一个矩阵不是方阵的时候，必定是没有逆矩阵的。不过实际上在矩阵分析里面，这样的矩阵也可以求逆，叫做伪逆。
此外，一个矩阵如果有逆矩阵，那么一定只有唯一的一个逆矩阵。这个其实很好证明： \[ AB = BA = I，AC = CA = I \\ B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C \]
那逆矩阵有什么用呢，用逆矩阵可以解之前的线性方程组，直接得到经过高斯消元法之后的结果。那实际上，逆矩阵求解对机器来说是没效率的，因为机器求逆矩阵就用了RREF。
现在考虑一下，如果我们对矩阵的乘做逆运算会怎么样。也就是\((AB)^{-1}\)。那么我们可以得到的是\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)，这里要求两个矩阵都是可逆的。由此我们可以推广，\((A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}\)。
那如果\(A\)是可逆的，\(A^{\top}\)是不是也是可逆呢？答案很明显是可逆的，可以求一下，\(AA^{-1} = (AA^{-1})^{\top} = (A^{-1})^{\top} A^{\top} = I\)，然后反过来\(A^{-1}A = (A^{-1}A)^{\top} = A^{\top} (A^{-1})^{\top} = I\)。所以我们就知道，\((A^{\top})^{-1} = (A^{-1})^{\top}\)。
那么如何判断一个矩阵是不是可逆的？在Elementary Linear Algebra里面，提供了十几种判断依据：
- \(A\) is invertible.
- The reduced row echelon form of \(A\) is \(I_n\).
- The rank of \(A\) equals \(n\).
- The span of the columns of \(A\) is \(R_n\).
- The equation \(Ax = b\) is consistent for every \(b\) in \(R_n\).
- The nullity of \(A\) equals zero.
- The columns of \(A\) are linearly independent.
- The only solution of \(Ax = 0\) is \(\mathbf{0}\).
- There exists an \(n \times n\) matrix \(B\) such that \(BA = I_n\).
- There exists an \(n \times n\) matrix \(C\) such that \(AC = I_n\).
- \(A\) is a product of elementary matrices.
也就是说，当一个矩阵\(A\)是方阵时，如果\(A\)可逆，上述的条件都是等价的。
判断完是否可逆之后，如何计算逆矩阵呢？
这里引入一个概念，叫做elementary matrix，比如说\(E = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &1 &0 \end{bmatrix}\)。那这个变换矩阵的作用就是交换第二行和第三行。我们回顾一下，之前说的RREF其实做的事情就是多次的elementary matrix乘原来的矩阵。那么如果我们的RREF是单位矩阵，那么其实\(A\)的逆矩阵就是这么多elementary matrix的乘积，不过这里要注意的是elementary matrix \(E\)的顺序。
矩阵的逆大概就是这么多内容，简单一点判断，如果矩阵是方阵，且满秩，就可逆。计算方法就用高斯消元法的那一套来。
